Çarpanlara Ayırma Kuralları - Çarpanlara Ayırma Kuralları Konu Anlatımı

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda Eylül tarafından 13 Aralık 2011 tarihinde açılan konu

  1. Eylül

    Eylül Site Yetkilisi Editör

    Sponsorlu Bağlantılar
    Çarpanlara Ayırma Kuralları - Çarpanlara Ayırma Kuralları Konu Anlatımı

    1. Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :
    Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.
    Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

    1) Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız.
    a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)
    c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)
    e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)
    g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x2 (a + b)
    ı) x2(p – 3) + ma2 (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)



    2. Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :
    Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer,
    üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır.


    2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b2
    c) x4 – 4 + 2x3 – 2x d) 2x2 –3x – 6xy + 9y
    e) x3 – x + 1 – x2 f) x4 – x + x3 – 1
    g) ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2) h) ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b
    ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 – (a2 + b2)



    3. Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
    Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir
    a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2


    3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 – 4abc + c2

    4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 – 28m2 +98m c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3



    4. İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
    Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu
    Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
    a2 – b2 = (a + b) (a – b)


    5) a) 25 – 9a2b2 b) x4 – 1 c) (m – n)2 – (m + n)2

    6) a) 18x2 – 2y2 b) 2a2b3 – 32b c) 12x3y – 75xy5

    7) a) 9a2 – 6a +1 – b2 b) x2 – 12x + 36 – 4y2 c)16m2 – n2 – 6n – 9

    d)1 – x2 – 2xy – y2 e) m2 – n2 – 3m + 3n f) a2 – 25b2 – a + 5b

    g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2 h) 9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2



    5. İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma:

    a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)


    8) a) a3 + 8 b) 8 – m3 c) x3 + 1 d) 27a3 – 64 e) x3a3 + b3

    9) a) 81m3 – 3n3 b) 24x3y – 3y c) 2x + 54x4

    10) a) (x +y)3 – 8 b) a3 + 8(a - b)3 c) (m – n)3 + 1



    6. xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:
    11) a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)
    b) x4 – 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
    c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
    d) x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1

    7. Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:
    Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare
    ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir


    12) 4x4 + 7x2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

    4x4 + 7x2 + 4 = 4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2 = 4x4 + 8x2 + 4– x2
    = (2x2 + 2)2 – x2
    2x2 2 = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)
    2.2x2.2 = 8x2 = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)


    13) x2 – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini
    ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.
    x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4
    = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

    14) a) m2 + 2m – 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4
    d) a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1 (Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )

    8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
    Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız.
    Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı
    Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur
    Toplamları (–) “ “ (–) olur Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur

    15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 – 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 – 7x + 6
    e) x2 + 5x – 6 f) x2 – 5x – 6 g) x2 + x – 6 h) x2 – x – 6
    ı) x2 – 7x – 18 i) x4 – x2 – 30 k) m2 – 6m – 27 l) x2 – 3xy – 10y2
    m) –x2 – 2x + 3 n) x2 – 13x + 30 o) x2 + 2y2– 3xy

    9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
    ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)
    mx p
    nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa)


    16) 6x2 + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur.
    3x – 1 (3x . 3 – 1. 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)
    2x + 3
    17) a) 3x2 – 2x – 8 b) 3x2 – 7x + 2 c) 2m2 + 5mn – 12n2

    d) 8a2 – 2ab – b e) 4x2 + 21x + 5 f) 36a2 – 33ab – 20b2

    g) 4m2 + 11m – 3 h) 6a2 + 5a – 6 ı) 12a2 – 8ab – 15b2

    i) 2m2 – 10m + 12 k) 3x2 + 3x – 18 l) 3 n2 + 30n + 48

    18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?
    c2 + 2ac + 2bc = 6 T.T.T
    a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9(a + b + c)2 = 9 Ç = {-3, 3}

    19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?
    a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256
    x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32
    20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10
    a + b yerine ab yazılırsa
    (a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur. a .b = y diyelim.
    y2 – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = - 4 ve y = 6
    21) ise, C = 8
    olur. (özdeşlikte yerine yazalım )
    22) ise; C = 36
    olur. (özdeşlikte yerine yazalım )
    23) ise; C = 12
    olur. (yerine yazalım )
    24) işleminin sonucu kaçtır?
    123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa
    =153 olur


    1-)ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

    A(X).B(X)+A(X).C(X)=A(X).[B(X)+C(X)

    Ortak çarpan parantezine almaktaki amaç terim sayısını bire düşürmektir.Böylece ifadelerde sadeleştirme kolaylıkla yapılabilir.

    ÖRNEKLER:
    1-)ax+bx-cx ifadesini çarpanlara ayıralım!
    ax+bx-cx üç terimlisinde ortak çarpan x’tir.buna göre;
    ax+bx-cx=x.(a+b-c) olur.

    2-)a b c+a b c+a bc ifadesini çarpanlarına ayıralım!
    İfade üç terimlidir ve abc ortak çarpandır.O halde;

    a b c+ab c+a bc=abc(ab+bc+a c)dir.

    2-)GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA
    Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde guplara ayrılır ve her grupta ortak bi çarpan bulunmaya çalışılır.

    ÖRNEKLER:
    1-)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)
    =x(a+b)+y(a+b)
    =(a+b).(x+y)

    2-)x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a)
    =x(x-a)+2(x-a)
    =(x-1).(a-1)
    3-)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1)
    =a(x-1)-1(x-1)
    =(x-1).(a-1)
    3-)İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI
    a-b=(a-b).(a+b)

    ÖRNEKLER:

    1-)4x - 9=(2x-3)(2x+3)

    2x - 3

    2-)(2a-3) - (a-2)=

    =(2a-3) – (a-2)
    =[(2a-3)-(a-2)].[(2a-3)+(a-2)]
    =(2a-3-a+2).(2a-3+a-2)
    =(a-1).(3a-5)

    3-)(2x-3)-1=

    = (2x-3)-1
    =[(2x-3)-1].[(2x-3)+1]
    =(2x-3-1).(2x-3+1)
    =(2x-4).(2x-2)
    =4(x-2).(x-1)

    4-)(298-98)-200.392 =16 (1994/ÖSS)
    2a
    = (298-98)(298+98)-200.392 =16
    2a
    = 200.396-200.392 =16
    2a
    =200(396-392) =16
    2a
    =100.4 =16 a=100.4 a=25
    a 16a - b İFADESİNİ ÇARPANLARA AYIRMA

    a-b=(a-b) (a + a b+a .b +.....+b )
    ÖRNEKLER:

    x –y ifadesini çarpanlarına ayırınız

    1-) x - y = (x-y) (x +x y+x y+xy +y )olur.

    2-) x – y ifadesini çarpanlarına ayırınız.

    x – y =(x – y)(x +x y+x y +x y + xy +y ) olur.Ncak ikinci çarpan tekrar çarpanlara ayrılır.Bu soruyu aşağıdaki gibi çözersek daha kolay olur.

    x – y = (x ) – (y )

    = (x -y )(x +y )

    =(x-y)(x +xy+y )(x+y)(x –xy +y )

    a + b İFADESİNİ ÇARPANLARINA AYIRMA

    a- ) n tek ise a + b=(a+b)(a - a .b+a .b -....+b )’dir.
    ÖRNEKLER


    1-) a – b ifadesini çarpanlarına ayıralım.

    a + b=(a+b)(a – a b +a b –ab + b )

    b- )n çift ve n=2 (k Z)
    p tek ve tam sayı olmak üzere n=p.t ise

    a + b=(a ) +(b ) biçiminde yazarak ayrılır ç4-)TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI

    (a+b)=a+2ab+b

    (a-b)=a-2ab+b
    Tam kare üç terimli ifadelerde,iki terimin kare kökleri çarpımının iki katı,üçüncü(ortadaki) terimi vermektedir.

    ÖRNEKLER:

    1-)x+4x+4 ifadesi tam kare midir?

    x + 4x +4=(x+2)

    x 2
    2.x.2=4x (ortadaki terim) o halde x+4x+4 tam karedir

    2-)2000-4000.1999+1999 işleminin sonucu kaçtır?

    2000 1999
    2.2000.1999=4000.1999 olduğuna göre

    2000-4000.1999+1999=(2000-1999)
    =1 olur.

    5-)ÜÇ TERİMLİYİ ÇARPANLARA AYIRMA

    x+bx+c şeklindeki bir üç terimli çarpanlarına ayrılırken, çarpımları c(sabit terim),toplamları b(x in katsayısı) olan iki sayı aranır.

    ÖRNEKLER:

    1-)x+y+4x-6y+19 ifadesinin en küçük değeri nedir?

    x+y+4x-6y+19
    =(x+4x+4)+(y-6y+9)+6
    =(x+2)+(y-3)+6 (x+2) en az 0 (y-3) en az 0 olacağına göre (x+2)+(y-3)+6 nın en küçük değeri 6 olur.arpanlarına ayrılır.
     

Bu Sayfayı Paylaş